EJERCICIOS RESUELTOS

Ejemplo:

 

Resolver por el método de factorización las siguientes ecuaciones cuadráticas:

 

a)   x2  6x + 5 = 0

 

Solución: Es un trinomio de la forma x2 + b x +c. Factorizando:

 

 (x – 5) (x – 1) = 0, entonces,   x – 5 = 0   ó   x – 1 = 0, de donde, x = 5   ó  x = 1

Respuesta:   {1, 5}

 b)   6x2 = – 5x + 6

 

Solución: Se rescribe la ecuación en forma canónica: 6x2 + 5x – 6 = 0  y  se factoriza.

 

  , por lo tanto,

 

2x + 3 = 0  ó   3x – 2 = 0, o sea,   2x = – 3   ó   3x = 2, de donde,

 

x = –3/2  ó  x = 2/3                 Respuesta: {–3/2,  2/3}

 

 c)   4x2 – 3x = 0

 

Solución: Se saca factor común x:   x (4x – 3) = 0   y se aplica la propiedad del producto nulo:

 

x = 0   ó   4x – 3 = 0, o sea,   x = 0   ó   4x = 3, de donde,   x = 0  ó   x = ¾

 

Respuesta: {0,  ¾}

 

Las soluciones de la ecuación cuadrática ax 2 + b x + c = 0  (a ≠ 0) están dadas por:

 

 

 

Llamada  fórmula  general  de las ecuaciones cuadráticas o fórmula cuadrática.

 

Ejemplo:

 

Utilizar la fórmula general cuadrática para resolver las siguientes ecuaciones:

 

a)   6x2 + 7x – 5 = 0

 

Solución: En este caso,  a = 6,  b = 7  y  c = –5. Al utilizar la fórmula cuadrática, se tiene:  

                    

 

Respuesta: {– 5/3, ½}

 

b)   x2 + x + 1 = 0

 

Solución: Aquí  a = 1,  b = 1  y  c = 1,  por lo tanto,

 

 

Como  no es un número real, se dice, que la ecuación no tiene solución en los números reales.

 

Ejemplo:

 

1.      Una compañía fraccionadora de terrenos adquirió uno en $7200 (dólares). Se había recuperado el costo total del terreno después de vender la totalidad, excepto 20 acres, con utilidades de $30 por acre. ¿Cuántos acres se vendieron?

 

Solución:

 

Sea x el número de acres comprados, entonces, 7200/x es el valor de compra de cada acre,   x – 20 el número de acres vendidos  y  (7200/x + 30) es el valor de venta de cada acre. Según las condiciones del problema:

 

Nº de acres vendidos  x  Valor de venta de cada acre = Costo total

O sea,

 

(x – 20) (7200/x + 30) = 7200, desarrollando,  (x – 20) (7200 + 30x) = 7200x

 

7200x  – 144000 + 30x2 600x = 7200x, ordenando,  30x2 600x – 144000 = 0,

 

  dividiendo por  30:  x2 – 20x –  4800 = 0,  factorizando,   (x – 80) (x + 60)= 0

 

de donde,  x – 80 = 0  ó  x + 60 = 0, despejando x:

 

x = 80   ó  x = – 60 (se descarta porque los acres no pueden ser negativos).

 

Respuesta: Se compraron 80 acres, por consiguiente, se vendieron 80 – x =

 

80 – 20 = 60 acres.

 

Ejemplo:

 

2.                  Un fabricante ha estado vendiendo bombillas a 6 dólares cada una  y, a este    precio,  los  consumidores  han  estado  comprando 6000 bombillas por mes. El fabricante  desearía elevar el precio y estima que por cada dólar de incremento    en  el precio se venderán 1000 bombillas menos cada mes. El fabricante puede producir las  bombillas  a  un  costo  de  4 dólares  por bombilla. ¿A qué precio    debería   vender   el   fabricante  las  bombillas  para  obtener  un  beneficio de 16000 dólares?

 

Solución:

 

Sea  x  el  número  de  dólares incrementados,  entonces,   6 + x   es el nuevo precio   y    6000 – 1000x    es  el número de bombillas vendidas a este precio,  por lo que, la venta sería: (6 + x)(6000 – 1000x)  y el costo :  4(6000 – 1000x).

 

  Como:    Ingreso = Venta – Costo, se tiene:

 

16000 = (6 + x)(6000 – 1000x) – (24000 – 4000x)

 

 16000 = –1000x2 + 4000x + 12000,   dividiendo entre – 1000 y ordenando:

 

x2 – 4x + 4 = 0, factorizando,  (x – 2)2 = 0

 

sacando raíz cuadrada:  x – 2  = 0    y    se   obtiene   que   x = 2 dólares.

       

Por lo tanto,   6 + x = 6 + 2 = 8  dólares  es  el  nuevo  precio y se han vendido         

6000 – 1000(2) = 4000 bombillas, siendo los Ingresos de 8 x 4000    

4×4000                = 32000 – 16000 = 16000 dólares.

 

 

 

Ecuación cuadratica (caso de factorización)

 

 

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