FUNCIÓN CUADRÁTICA

FUNCIÓN CUADRÁTICA

 

Muchos problemas de economía, al formularlos en el lenguaje matemático se plantean mediante funciones cuadráticas, es por esto, que se hace necesario estudiar la función cuadrática y sus características con el fin de poder resolver problemas de economía.

A continuación estudiaremos la función cuadrática, sus características y su grafica.

 

Toda función de la forma y = f(x) = a x 2 + b x + c, donde a, b, c Î R  y  a ¹ 0, se denomina “Función Cuadrática” y su gráfica es una parábola.

 

La  parábola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de una recta fija, llamada directriz y de un punto fijo, llamado foco.

 

La parábola es simétrica con respecto a una recta vertical llamada eje de simetría. Esta recta corta a la curva en un punto llamado vértice de la parábola.   

 parabola

 

Características de la función cuadrática

Dada la expresión f(x) = ax2 + bx + c, con a, b, c números reales y a ≠ 0.

  1. El dominio de la función es el conjunto de los números reales
  2. Si a > 0, la gráfica de la función abre hacia arriba y si a < 0, la gráfica de la función abre hacia abajo
  3. Sea el vértice el punto ( h, k ), el valor de h se obtiene mediante la expresión:     h = -b/2a y k se obtiene sustituyendo el valor encontrado para h en la función dada, es decir, k = f(h).
  4. El eje de simetría de la parábola es la línea vertical de ecuación x =h, o x – h = 0
  5. Los puntos de intersección de la parábola con el eje x (si los hay), se obtienen mediante la solución de la ecuación ax2 + bx + c = 0

 

Ejemplo:

Dada la función y = x2 – 4x + 3, determinar:

El vértice de la parábola

La ecuación del eje de simetría

Interceptos con el eje x

 

 

Solución

En la ecuación dada, a = 1; b = -4; c = 3

  • Hallaremos el vértice (h, k)

Sabemos que h= -b/2a, sustituyendo en esta ecuación, se tiene:

 

h = -(-4)/(2*1), luego h=4/2, entonces h=2

 

k, se obtiene sustituyendo el valor de h en la ecuación y = x2 – 4x + 3

 

k = (2)2 – 4(2) + 3, luego k = 4 – 8 + 3 = – 1

 

Entonces el vértice de la parábola es el punto (2, -1)

 

  • La ecuación del eje de simetría es: x – 2 = 0

 

  • Para encontrar los interceptos, resolveremos la ecuación x2 – 4x + 3 = 0, utilizando para ello la factorización.

 

x2 – 4x + 3 = (x – 3)(x – 1), luego

 

(x – 3)(x – 1) = 0, de donde se obtiene que x – 3 = 0 o x – 1 = 0.

 

Las raíces de la ecuación son: x1 = 3 ; x2 = 1, por lo tanto los interceptos de la curva con el eje x son los puntos: (3, 0) y (1, 0)

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